My sister has lived with the Russian family.という文章は現在完了形で表現されているわけですが、現在完了形はMy sister has lived with the Russian family.と表現した時が「現在」として意識され、その時点以前の出来ごとと現在とを関連させたものとなります。そしてthe Russian family my sister has lived with　はその名詞化表現で時制もそのままです。

一方　Everyone took the Russian family my sister had lived with to be American.　という英文の場合、took という過去のタイミングが基準になり、the Russian family my sister has lived withはそれ以前の出来ごとのはずなので、現在完了形のままだと物事の起こった順序が逆転してしまうことになります。過去より前の出来ごとは過去完了形にする必要があります。

現在を基準にそれ以前の出来ごとを表現する時は、現在完了形、そして過去の時点を基準にそれ以前の出来ごとを表現する時は、過去完了形を使うのが英語の特徴です。